Paradoks Monty’ego Halla to jedno z najbardziej znanych zagadnień z zakresu teorii prawdopodobieństwa. Jego rozwiązanie na pierwszy rzut oka wydaje się nielogiczne i często stoi w sprzeczności z tym, co podpowiada nam intuicja.
Problem zyskał dużą popularność dzięki amerykańskiemu programowi telewizyjnemu Let’s Make a Deal. Zgodnie z zasadami gry uczestnik musi wybrać jedne z trojga drzwi. Za jednymi znajduje się samochód, a za pozostałymi dwiema — kozy.
Wyobraźmy sobie, że bierzesz udział w takiej grze i wybierasz drzwi nr 1. Następnie prowadzący, który dokładnie wie, gdzie znajduje się samochód, otwiera jedne z dwóch pozostałych drzwi — na przykład drzwi nr 2.
Za nimi znajduje się koza. Prowadzący daje Ci wtedy możliwość ponownego wyboru: możesz pozostać przy drzwiach nr 1 albo zmienić decyzję i wybrać drzwi nr 3.
Która opcja daje większą szansę na wygraną?
İçindekiler
Prawidłowe rozwiązanie problemu
Większość osób w takiej sytuacji woli pozostać przy swoim pierwotnym wyborze. Intuicyjnie wydaje się, że po otwarciu jednych drzwi prawdopodobieństwo rozkłada się po równo między dwie pozostałe możliwości.
Tok rozumowania wygląda mniej więcej tak: początkowo prawdopodobieństwo wybrania drzwi z samochodem wynosiło 33,3%. Po tym, jak prowadzący wyeliminował jedne niewłaściwe drzwi, pozostały tylko dwie możliwości. Wydaje się więc, że teraz szanse powinny wynosić 50 na 50.
I właśnie tutaj pojawia się podstawowy błąd.
W rzeczywistości gracz, który zmienia swój pierwotny wybór, wygrywa mniej więcej dwa razy częściej niż osoba, która pozostaje przy pierwszej decyzji.
Wynika to z faktu, że działania prowadzącego nie „zerują” początkowych prawdopodobieństw. Szansa na to, że samochód od początku znajdował się za wybranymi przez Ciebie drzwiami, wynosiła 33,3% — i otwarcie innych drzwi tego nie zmienia.
Jeżeli więc pozostaniesz przy swoim pierwotnym wyborze, prawdopodobieństwo wygranej nadal wynosi 33,3%.
Jeśli natomiast zmienisz drzwi, szansa na wygraną wzrośnie do 66,7%.
Dla wielu osób taki wynik może wydawać się zaskakujący. Można nawet odnieść wrażenie, że w tym rozumowaniu gdzieś kryje się błąd. Obliczenia matematyczne potwierdzają jednak, że przy standardowych założeniach problemu zmiana drzwi rzeczywiście dwukrotnie zwiększa prawdopodobieństwo wygranej.
Spójrzmy na tę sytuację z nieco innej perspektywy.
Załóżmy, że wybierasz drzwi nr 3. Prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się właśnie za nimi, wynosi 33,3%. Oznacza to, że łączne prawdopodobieństwo, iż samochód znajduje się za jednymi z dwóch pozostałych drzwi — nr 1 lub nr 2 — wynosi 66,7%.
Następnie prowadzący otwiera na przykład drzwi nr 2 i pokazuje, że znajduje się za nimi koza. Ponieważ prowadzący od początku wie, gdzie jest samochód, i celowo otwiera drzwi bez nagrody, prawdopodobieństwo przypisane wcześniej do dwóch niewybranych drzwi skupia się teraz w praktyce na jedynych pozostałych zamkniętych drzwiach — nr 1.
Dlatego zmiana wyboru daje około 66,7% szans na wygraną.
Model z trojgiem drzwi nie zawsze jest łatwy do intuicyjnego zrozumienia. Zasada staje się znacznie bardziej oczywista, gdy zwiększymy liczbę dostępnych możliwości.
Wyobraź sobie, że przed Tobą znajduje się nie troje, lecz 100 drzwi. Tylko za jednymi z nich znajduje się samochód.
Wybierasz jedne drzwi. Prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się właśnie za nimi, wynosi zaledwie 1%.
Następnie prowadzący, który zna prawidłową odpowiedź, otwiera 98 innych drzwi i za każdymi z nich znajduje się koza. W rezultacie zamknięte pozostają tylko dwoje drzwi: te wybrane przez Ciebie na początku oraz jeszcze jedne.
Twoje pierwsze drzwi nadal mają tylko 1% szans na to, że są właściwe. Na pozostałe 99 drzwi początkowo przypadało łącznie 99% prawdopodobieństwa. Po tym, jak prowadzący celowo wyeliminował 98 przegrywających możliwości, całe 99% przypada na jedyne pozostałe zamknięte drzwi.
W takiej sytuacji przewaga wynikająca ze zmiany wyboru staje się znacznie bardziej oczywista.
Jak wykorzystać idee paradoksu Monty’ego Halla w zakładach sportowych
Samego paradoksu Monty’ego Halla nie można bezpośrednio przekształcić w uniwersalną strategię obstawiania. Zasada, na której się opiera, może być jednak przydatna w analizie zakładów sportowych: nowe informacje mogą znacząco zmieniać ocenę sytuacji, a intuicyjne postrzeganie prawdopodobieństwa często okazuje się błędne.
Przyjrzyjmy się kilku przykładom.
Zakłady na odpadnięcie faworyta z turnieju pucharowego
Wyobraźmy sobie półfinałową fazę piłkarskiego turnieju pucharowego. Załóżmy, że w rozgrywkach pozostały cztery drużyny. W jednym półfinale Real Madryt gra z Bayernem Monachium, a w drugim Manchester City mierzy się z PSG.
Bukmacherzy uznają Real Madryt za głównego faworyta turnieju. Przykładowo kurs na zwycięstwo tej drużyny w całych rozgrywkach wynosi 1,75.
Po uwzględnieniu marży bukmachera ocena prawdopodobieństwa będzie zależeć od całej oferty kursowej. Dla uproszczenia załóżmy jednak, że szanse faworyta są oceniane na około 54,5%, a pozostałych uczestników łącznie — na 45,5%.
Polski gracz może na przykład zdecydować się postawić 100 zł (PLN) na wybrany wynik. Przy kursie 1,75 potencjalna całkowita wypłata z wygranego zakładu za 100 zł wyniesie 175 PLN, wliczając w to postawioną stawkę.
Jeśli Real Madryt awansuje do finału, bukmacher może dodatkowo obniżyć kurs na jego końcowe zwycięstwo. Jednocześnie kursy na rywala mogą wzrosnąć.
W takiej sytuacji warto ponownie ocenić prawdopodobieństwa i porównać je z nowymi kursami. Jeżeli kurs na rywala faworyta lub na remis w regulaminowym czasie gry okaże się wyższy niż wynikałoby to z Twojej własnej oceny prawdopodobieństwa, może pojawić się potencjalna okazja typu value.
Zakłady przeciwko ruchom kursów
Rozważmy inny przykład. Załóżmy, że w ćwierćfinale Ligi Mistrzów Bayern Monachium mierzy się z RB Lipsk.
W momencie otwarcia rynku bukmacher oferuje następujące kursy:
- 2,20 na powyżej 3,5 gola;
- 1,70 na poniżej 3,5 gola.
Jeżeli znormalizujemy te kursy z uwzględnieniem marży, w tym uproszczonym przykładzie rynek ocenia prawdopodobieństwo czterech lub większej liczby goli na około 43,6%, natomiast trzech goli lub mniej — na około 56,4%.
Załóżmy, że polski gracz planuje postawić 200 zł na poniżej 3,5 gola. Przy kursie 1,70 potencjalna całkowita wypłata wyniosłaby 340 PLN.
Jednak bliżej rozpoczęcia spotkania, w wyniku zmian popytu i pojawienia się nowych informacji, kursy znacząco się zmieniają:
- 1,70 na powyżej 3,5 gola;
- 2,20 na poniżej 3,5 gola.
Teraz zakład w wysokości 200 zł na poniżej 3,5 gola przy kursie 2,20 zapewni potencjalną całkowitą wypłatę w wysokości 440 PLN w przypadku wygranej.
Sama zmiana kursu nie oznacza jednak jeszcze, że zakład stał się opłacalny. Trzeba zrozumieć, dlaczego rynek się zmienił. Powodem mogą być duże zakłady, informacje dotyczące składów, kontuzje zawodników, warunki pogodowe lub inne dane, które rzeczywiście wpływają na prawdopodobieństwo danego wyniku.
Jeśli po przeprowadzeniu analizy nadal uważasz, że rzeczywiste prawdopodobieństwo wyniku poniżej 3,5 gola jest wyższe niż prawdopodobieństwo wynikające z aktualnego kursu 2,20, taki zakład można uznać za potencjalny value bet.
Czego paradoks Monty’ego Halla może nauczyć graczy
Najważniejsza lekcja płynąca z paradoksu Monty’ego Halla nie dotyczy konkretnej strategii obstawiania, lecz właściwego rozumienia prawdopodobieństwa.
Intuicja nie zawsze pozwala prawidłowo ocenić szanse. Szczególnie łatwo o błąd, gdy w trakcie pojawiają się nowe informacje i wydaje się, że prawdopodobieństwa należy po prostu od nowa rozdzielić między pozostałe możliwości.
W zakładach sportowych działa podobna zasada. Gracz powinien nie tylko zwracać uwagę na aktualne kursy, ale również rozumieć, dlaczego się zmieniły, jakie prawdopodobieństwa odzwierciedla rynek oraz czy oferowany kurs odpowiada jego własnej ocenie danego wydarzenia.
Na przykład, jeśli zamierzasz postawić 100 lub 200 zł, wysokość potencjalnej wygranej sama w sobie nie mówi nic o jakości zakładu. Kurs należy zawsze porównać z rzeczywistym prawdopodobieństwem danego wyniku.
Paradoks Monty’ego Halla dobrze pokazuje, dlaczego przy analizowaniu prawdopodobieństwa warto w mniejszym stopniu polegać na pierwszym wrażeniu, a w większym — na obliczeniach i dostępnych informacjach. Takie podejście pomaga podejmować bardziej świadome decyzje podczas analizy zakładów sportowych.
